Funkcja Wignera na rozmaitościach nietrywialnych topologicznie

Abstract

Przedmiotem pracy jest zbadanie możliwości konstruowania funkcji Wignera na rozmaitościach nietrywialnych topologicznie oraz zbadanie właściwości otrzymanych funkcji. Zagadnienie to jest ujęte w szerszym kontekście mechaniki kwantowej w przestrzeni fazowej. Stany koherentne, transformacja Segala-Bargmanna i funkcja Husimiego również były przedmiotem zainteresowania w tej pracy. Omówiono podstawowe narzędzia mechaniki kwantowej w przestrzeni fazowej w przypadku, gdy przestrzenią konfiguracyjną układu i jego przestrzenią fazową są rozmaitości topologicznie euklidesowe. Omówiono dwa przypadki nietrywialne: okrąg i sferę - rozmaitości o jasnym znaczeniu fizycznym, lecz o istotnie różniącej się topologii. Wiązka styczna do okręgu jest wiązką trywialną, podczas gdy wiązka styczna do sfery – nie. W przypadku okręgu przedstawiono analizę i porównanie znanych konstrukcji stanów koherentnych oraz funkcji Wignera. Przedstawiono właściwości funkcji Wignera w stanach koherentnych na okręgu. Zbadano pewne aspekty ewolucji swobodnej stanów koherentnych na okręgu. Dla sfery także przedstawiono analizę i porównanie wybranych konstrukcji stanów koherentnych. Przestawiono konstrukcję funkcji Wignera dla sfery i omówiono jej podstawowe właściwości. Zbadano podstawowe właściwości funkcji Wignera w stanach koherentnych na sferze. Omówiono podstawy statystyki kierunkowej i zastosowano jej metody do opisu stanów kwantowych na okręgu i sferze. Zbadano nieoznaczoności położenia kątowego i momentu pędu w stanach koherentnych na okręgu przy użyciu definicji wariancji obowiązującej w statystyce kierunkowej. Zbadano lokalizację średniej wewnętrznej położenia kątowego w stanach koherentnych na okręgu ewoluujących swobodnie i porównano ją z lokalizacją średniej zewnętrznej. Porównano przebieg przeskoków tych średnich. Zaproponowano ogólną metodę konstruowania funkcji Wignera na nietrywialnych rozmaitościach poprzez transformację Segala-Bargmanna, funkcję Husimiego i odwrotną transformację Gaussa-Weierstrassa. Przetestowano ją w przypadkach topologicznie trywialnych i dla okręgu.