Zagadnienia propagacji światła w polu grawitacyjnym

Abstract

Rozprawa poświęcona jest analizie propagacji światła w zakrzywionych czasoprzestrzeniach ogólnej teorii względności, w przybliżeniu optyki geometrycznej. Jej główną ideą jest zastosowanie do tego klasycznego problemu, nierozerwalnie związanego z głównymi wątkami ogólnej teorii względności, efektywnych metod teorii układów dynamicznych. W płaskiej czasoprzestrzeni użytecznym narzędziem opisu propagacji promieni świetlnych jest zasada najkrótszego czasu Fermata. Jednym z głównych wyników rozprawy jest podanie nowej wersji zasady Fermata dla dowolnych pól grawitacyjnych. Punktem wyjścia jest pewne proste twierdzenie udowodnione w rozprawie, na podstawie którego można zdefiniować funkcję Lagrange’a, opisującą zredukowane trajektorie w przestrzeni konfiguracyjnej, zależną od zmiennej działania. Takie uogólnienie opisane jest tzw. formalizmem Herglotza. Dzięki temu zaproponowana w rozprawie wersja zasady Fermata dostarcza efektywne narzędzia do analizy różnych problemów szczegółowych. Drugi główny wynik oparty jest na obserwacji, że w przypadku geometrii opisujących czarne dziury, równania wynikające z zasady Fermata opisują małe drgania nieliniowe. Prawidłowe rozwinięcie rozwiązań równań ruchu opisane jest przez algorytm Lindstedta-Poincare. Zastosowanie tego algorytmu do zagadnienia propagacji promieni świetlnych w obszarze asymptotycznym prowadzi do opisu oddającego jakościowe i ilościowe charakterystyki trajektorii. Ostatni problem rozważany w rozprawie dotyczy propagacji promieni świetlnych w metryce Kerra. W omawianej rozprawie zerowe geodezyjne analizowane są w ramach zasady Fermata, w taki sposób, że otrzymuje się dwuwymiarowy układ dynamiczny. Opisujący go hamiltonian jest dość skomplikowany, lecz problem można uprościć przez zastosowanie tzw. metody metamorfozy stałej sprzężenia. W ten sposób otrzymuje się dużo prostszy opis zerowych geodezyjnych w metryce Kerra w ramach dwuwymiarowego układu całkowalnego w sensie Arnolda-Liouville’a.

The dissertation is devoted to the analysis of light propagation in curved spacetimes of general relativity, in the approximation of geometrical optics. Its main idea is to apply effective methods of dynamical systems theory to this classical problem, inextricably linked to the main threads of general relativity. One of the main results of the dissertation is the provision of a new version of Fermat's principle for arbitrary gravitational fields. The starting point is a certain simple theorem proved in the dissertation, on the basis of which one can define the Lagrange function, describing reduced trajectories in configuration space, dependent on the action variable. Such a generalization is described by the so-called Herglotz formalism. The second main result is based on the observation that in the case of black hole geometries, the equations resulting from Fermat's principle describe small nonlinear oscillations. The correct expansion of the solutions is described by the Lindstedt-Poincare algorithm. Applying this algorithm to the problem of propagation of light rays in the asymptotic region leads to a description that correctly captures the characteristics of the trajectory. The last problem concerns the propagation of light rays in the Kerr metric. The null geodesics are analyzed in the framework of Fermat's principle, in such a way that a two-dimensional dynamical system is obtained. The Hamiltonian describing it is quite complicated, but the problem can be simplified by using the so-called coupling constant metamorphosis method. In this way, a much simpler description is obtained within a two-dimensional Arnold-Liouville integrable system.