Numerical Aspects of Determining Measures and Contours in Depth for Data in R2

Abstract

Measures and contours in depth are new statistical techniques applied in the analysis of observations. They are particularly applied in the visualisation of 2-dimentional samples in R2 space. The theory of measures and contours in depth for the case of R2 has been presented in numerous scientific papers by D o n o h o and Gąsko (1992), He and W a n g (1997), R o u s s e e u w and R u t s (1996, 1999), Ruts and Rousseeuw (1996). The papers by the above authors are mainly theoretical. They have put less emphasis on applications. Such situation could be explained by the lack of adequate software in this field in such common statistical packages as SAS, SPSS, or STATISTICA. This paper focuses on the numerical aspects of construction of the contour for samples in space R2. Certain numerical aspects with their direct implementation in the TURBO-PASCAL programming language were presented. The prepared program did numerical calculations. It allowed us to focus attention on the basic features of contours in depth being the graphical visualisation of 2-dimentional samples. The theoretical basis, as regards measures in depth and contours in depth, are included in the above-mentioned papers and in the article by W a g n e r and Kobylińska (2000).

W statystycznej analizie mierzalnych ciągłych danych liczbowych w R2 stosuje się najczęściej analizę korelacyjną i regresyjną opartą na metodzie najmniejszych kwadratów. Jednakże w przypadku danych nietypowych (np. obserwacje wpływowe, obserwacje odstające) uzyskiwane wyniki z tych analiz nie zawsze są wystarczające. Jest ona uzupełniana analizą diagnostyczną wykorzystującą różne testy statystyczne (np. ucięte studentyzowane reszty), pozwalającą na wykrywanie wpływu obserwacji nietypowych na jakość uzyskanych estymatorów badanych parametrów dotyczących współczynników regresji i korelacji. Nieco odmiennym podejściem do analizy próby dwuwymiarowej jest korzystanie z miar i konturów zanurzenia. W tej analizie zwraca się głównie uwagę na stopień zanurzenia poszczególnych obserwacji w strukturze danych z R . Do wyznaczania miar zanurzenia stosuje się podejście simpleksowe, które w R2 sprowadza się do rozpatrywania zbiorów możliwych trójkątów pokrywających punkt Q. Przy rozwiązywaniu tego zagadnienia przeprowadza się, rozmaite obliczenia numeryczne, które zostały szczegółowo przedstawione w pracy. Stanowiły one podstawę do przygotowania programu obliczeniowego w języku TURBO-PASCAL. Na obecnym etapie implementacji wymienionego programu można wyznaczać miary zanurzenia pięcioma różnymi metodami, takimi jak: metoda cosinusów, trzech pól trójkąta, liniowych kombinacji wypukłych, trzech półpłaszczyzn rozdzielających, przekształcenia kątowego oraz metodą odległości Mahalanobisa. Także nadmienionym programem wyznacza się kontury zanurzenia, w tym ich punkty wierzchołkowe oraz przynależność punktów z PD do poszczególnych stopni konturów, wraz ze wskazaniem punktu medianowego w PD